CATATAN TEORI BAHASA AUTOMATA

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

I.       PENDAHULUAN 

Teori Bahasa

Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor). Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama. Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda. Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya. Bahasa manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.

Automata

Automata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.

Beberapa Pengertian Dasar

•         Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.

•         String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.

•         Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai \w\ dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka \ w \ = 4.

•         String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol s (atau ^A) sehingga \s\ = 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.

•         Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol

Operasi Dasar String

Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123

•         Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, a, dan s adalah semua Prefix(x)

•         ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, a, dan s adalah semua ProperPrefix(x)

•         Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut. Contoh : abc, bc, c, dan s adalah semua Postfix(x)

•         ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc, c, dan s adalah semua ProperPostfix(x)

•         Head string w adalah simbol paling depan dari string w.

Contoh : a adalah Head(x)

•         Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc adalah Tail(x)

•         Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan s adalah semua Substring(x)

•         ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol- simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, bc, a, b, c, dan s adalah semua Substring(x)

•         Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan s adalah semua Subsequence(x)

•         ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.

Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan s adalah semua Subsequence(x)

•         Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.

Contoh : concate(xy) = xy = abc123

•         Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau |.

Contoh : alternate(xy) = x | y = abc atau 123

•         Kleene Closure : x* = s| x | xx | xxx | ... = s| x | x ² | x³ | ...

•         Positive Closure : x + = x | xx | xxx | . = x | x² | x³ | .

Beberapa Sifat Operasi

•         Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)

•         Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)

•         Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) ^ Postfix(x)

•         Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ^ ProperPostfix(x)

•         Selalu berlaku : Head(x) ^ Tail(x)

•         Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya

•         Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya

•         Dua sifat aljabar concatenation :

♦        Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z

♦        Elemen identitas operasi concatenation adalah s : sx = xs = x

•         Tiga sifat aljabar alternation :

♦        Operasi alternation bersifat komutatif : x | y = y | x

♦        Operasi alternation bersifat asosiatif : x | (y | z) = (x |y) | z

♦        Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : x | x = x

•         Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (y | z) = xy^z

•         Beberapa kesamaan :

♦        Kesamaan ke-1 : (x*)* = (x*)

♦        Kesamaan ke-2 : s| x + = x + |s = x*

♦        Kesamaan ke-3 : (x | y)* = s| x | y | xx | yy | xy | yx | ... = semua string yang merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

II.       GRAMMAR DAN BAHASA

Konsep Dasar

1.      Dalam pembicaraan grammar, anggota alfabet dinamakan simbol terminal atau token.

2.      Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.

3.      Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

4.      Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :

•         huruf kecil awal alfabet, misalnya : a, b, c

•         simbol operator, misalnya : +, -, dan x

•         simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;

•         string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.

5.      Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal :

•         huruf besar awal alfabet, misalnya : A, B, C

•         huruf S sebagai simbol awal

•         string yang tercetak miring, misalnya : expr dan stmt.

6.      Huruf besar akhir alfabet melambangkan simbol terminal atau non terminal, misalnya : X, Y, Z.

7.      Huruf kecil akhir alfabet melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal, misalnya : x, y, z.

8.      Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : a, P, dan y.

9.      Sebuah produksi dilambangkan sebagai a ^ P, artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol a dengan simbol p.

10.    Simbol a dalam produksi berbentuk a ^ P disebut ruas kiri produksi sedangkan simbol P disebut ruas kanan produksi.

11.    Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai : a ^ p.

12.    Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol- simbol non terminal atau campuran keduanya.

13.    Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Jelaslah bahwa kalimat adalah kasus khusus dari sentensial.

14.    Pengertian terminal berasal dari kata terminate (berakhir), maksudnya derivasi berakhir jika sentensial yang dihasilkan adalah sebuah kalimat (yang tersusun atas simbol-simbol terminal itu).

15.    Pengertian non terminal berasal dari kata not terminate (belum/tidak berakhir), maksudnya derivasi belum/tidak berakhir jika sentensial yang dihasilkan mengandung simbol non terminal.

Grammar dan Klasifikasi Chomsky

Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : V_T, V_N, S, dan Q, dan dituliskan sebagai G(V_T , V_N, S, Q), dimana :

V_T : himpunan simbol-simbol terminal (atau himpunan token -token, atau alfabet)

V _N : himpunan simbol-simbol non terminal S e V_N : simbol awal (atau simbol start)

Q : himpunan produksi

Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (a ^ P), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :

1.      Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)

Ciri : a, P e (V_T I V_N )*, |a| > 0

2.      Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)

Ciri : a, P e (V_T I V_N )*, 0 < | a | < | P |

3.      Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG)

^{Ciri : a e V} n j ^{P e (V}T ^|VN⁾*

4.      Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)

^{Ciri : a e V}n ^{j P e {V}T ’ ^VT ^VN ^{} atau a e V}N ’ ^{P e {V}T ’ ^VN ^VT ^}

Mengingat ketentuan simbol-simbol (hal. 3 no. 4 dan 5), ciri-ciri RG sering dituliskan sebagai : a e V_N, P e {a, bC} atau a e V_N, P e {a, Bc}

Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :

A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar.

Contoh Analisa Penentuan Type Grammar

1.      Grammar G₁ dengan Q₁ = {S ^ aB, B ^ bB, B ^ b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V_N maka G₁ kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V_T atau string V_TV_N maka G₁ adalah RG.

2.      Grammar G₂ dengan Q₂ = {S ^ Ba, B ^ Bb, B ^ b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V_N maka G₂ kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V_T atau string V _N V _T maka G ₂ adalah RG.

3.      Grammar G₃ dengan Q₃ = {S ^ Ba, B ^ bB, B ^ b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V_N maka G₃ kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string V_T V_N (yaitu bB) dan juga string V_N V_T (Ba) maka G₃ bukan RG, dengan kata lain G₃ adalah CFG.

4.      Grammar G₄ dengan Q₄ = {S ^ aAb, B ^ aB}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V_N maka G₄ kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G₄ bukan RG, dengan kata lain G₄ adalah CFG.

5.      Grammar G₅ dengan Q₅ = {S ^ aA, S ^ aB, aAb ^ aBCb}. Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G₅ kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G₅ adalah CSG.

6.      Grammar G₆ dengan Q₆ = {aS ^ ab, SAc ^ bc}. Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G₆ kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G₆ adalah UG.

Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa

Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut :

1.      G₁ dengan Q₁ = {1. S ^ aAa, 2. A ^ aAa, 3. A ^ b}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek :                      Derivasi kalimat umum :

S ⇒ aAa (1)                                               S ⇒ aAa (1)

⇒ aba (3)                                                aaAaa (2)

^ aⁿ Aaⁿ (2)

^ aⁿbaⁿ (3)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L₁ (G₁) = { aⁿbaⁿ | n > 1}

2.      G₂ dengan Q₂ = {1. S ^ aS, 2. S ^ aB, 3. B ^ bC, 4. C ^ aC, 5. C ^ a}. Jawab :

Derivasi kalimat terpendek :                      Derivasi kalimat umum :

S ^ aB	(2)	S ^ aS	(1)
^ abC	(3)
^ aba	(5)	^ an-1S	(1)
		^ anB	(2)
		^ anbC	(3)
		^ anbaC	(4)
		^ anbam-1C	(4)
		^ anbam	(5)
Dari pola kedua kalimat disimpulkan		: L2 (G2) = { anbam	| n > 1, m > 1}

Menentukan Grammar Sebuah Bahasa

1.      Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L₁ = { aⁿ | n > 1}

Jawab :

Q₁(L₁) = {S ^ aS | a}

2.      Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L₂ : himpunan bilangan bulat non negatif ganjil Jawab :

Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil.

Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J)

Q₂(L₂) = {S ^ J | GS | JS, G ^ 0 | 2 | 4 | 6 | 8, J ^ 1 | 3 | 5 | 7 | 9}

3.      Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L₃ = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal

dengan batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter Jawab :

Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf.

Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A)

Q₃(L₃) = {S ^ h|hT, T ^ At|ht|h|a, H ^ a|b|c|..., A ^ 0 | 1 | 2 | _}

4.      Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa L₄(G₄) = {aⁿb^m | n,m > 1, n ^ m} Jawab :

Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L₄(G₄) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x ^ y berarti x > y atau x < y.

L₄ = L_a u L_b, L_a ={aⁿb^m | n > m > 1}, L_B = {aⁿb^m | 1 < n < m}.

Q_a (L_a ) = {A ^ aA | aC, C ^ aCb | ab}, Q(L_B) = {B ^ Bb | Db, aDb | ab} Q₄(L₄) = {S^ A | B, A ^ aA | aC, C ^ aCb | ab, B ^ Bb | Db, D^ aDb | ab}

5.      Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L₅ = bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit

atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.

Jawab :

Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J).

Q₅(L₅) = {S ^ N | GA | JA, A ^ N | NA | JA, G^ 2 | 4 | 6 | 8, N^ 0 | 2 | 4 | 6 | 8,

J ^ 1 | 3 | 5 | 7 | 9}

III.    

MESIN TURING

Ilustrasi TM sebagai sebuah ‘mesin’:

Pita TM. Terbatas di kiri. Setiap sel berisi sebuah karakter dari kalimat yang akan dikenali. Di kanan kalimat terdapat tak hingga simbol hampa.

FSC : otak dari TM, diimplementasikan dari algoritma pengenalan kalimat.

Ilustrasi TM sebagai sebuah graf berarah :

1.       Sebagaimana graf, TM terdiri dari beberapa node dan beberapa edge. Dari satu node mungkin terdapat satu atau lebih edge yang menuju node lainnya atau dirinya sendiri.

2.       Sebuah node menyatakan sebuah stata (state). Dua stata penting adalah stata awal S (start) dan stata penerima H (halt). Sesaat sebelum proses pengenalan sebuah kalimat, TM berada pada stata S. Jika kalimat tersebut dikenali maka, setelah selesai membaca kalimat tersebut, TM akan akan berhenti pada stata H.

3.       Sebuah edge mempunyai ‘bobot’ yang dinotasikan sebagai triple : (a, b, d). a adalah karakter acuan bagi karakter dalam sel pita TM yang sedang dibaca head. Jika yang dibaca head adalah karakter a maka a akan di-overwrite dengan karakter b dan head akan berpindah satu sel ke arah d (kanan atau kiri).

4.       Kondisi crash akan terjadi jika ditemui keadaan sebagai berikut :

TM sedang berada pada stata i. Jika TM sedang membaca simbol ax ^ a1 ^ a2 ^ ... ^ an maka TM tidak mungkin beranjak dari stata i. Jadi pada kasus ini penelusuran (tracing) TM ber- akhir pada stata i.

Contoh :

Rancanglah sebuah mesin turing pengenal bahasa L = {aⁿbⁿ | n > 0).

Jawab :

L tersebut terdiri dari 2 kelompok kalimat yaitu s dan non-s. Kelompok non-s adalah : ab, aabb, aaabbb, dan seterusnya. Untuk dapat menerima kalimat s TM harus mempunyai edge dari S ke H dengan bobot (s ,s , R). TM menerima kalimat-kalimat : ab, aabb, aaabbb, dan seterusnya, dengan algoritma sebagai berikut :

1.      Mulai dari S, head membaca simbol a.

2.      Head membaca simbol a. Tandai simbol a yang sudah dibaca tersebut, head bergerak ke kanan mencari simbol b pasangannya.

3.      Head membaca simbol b. Tandai simbol b yang sudah dibaca tersebut, head bergerak ke kiri mencari simbol a baru yang belum dibaca/ditandai.

4.      Ulangi langkah 2 dan 3.

5.      Head sampai ke H hanya jika semua simbol a dan simbol b dalam kalimat aⁿbⁿ selesai dibaca.

Algoritma di atas lebih diperinci lagi sebagai berikut :

1.      Mulai dari S, head membaca simbol a.

2.      Overwrite a tersebut dengan suatu simbol (misalkan A) untuk menandakan bahwa a tersebut sudah dibaca. Selanjutnya head harus bergerak ke kanan untuk mencari sebuah b sebagai pasangan a yang sudah dibaca tersebut.

i)       Jika yang ditemukan adalah simbol a maka a tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), dengan kata lain a dioverwrite dengan a juga dan head bergerak ke kanan.

ii)     Jika TM pernah membaca simbol b ada kemungkinan ditemukan simbol B. Simbol B tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), artinya B diover-write dengan B juga dan head bergerak ke kanan.

3.      Head membaca simbol b, maka b tersebut harus dioverwrite dengan simbol lain (misalnya B) untuk menandakan bahwa b tersebut (sebagai pasangan dari a) telah dibaca, dan head bergerak ke kiri untuk mencari simbol A.

i)       Jika ditemukan B maka B tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), dengan kata lain B dioverwrite dengan B juga dan head bergerak ke kiri.

ii)     Jika ditemukan a maka a tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), dengan kata lain a dioverwrite dengan a juga dan head bergerak ke kiri.

4.      Head membaca simbol A, maka A tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), dengan kata lain A dioverwrite dengan A juga dan head bergerak ke kanan.

5.      Head membaca simbol a, ulangi langkah 2 dan 3.

6.      (Setelah langkah 3) head membaca simbol A, maka A tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), dengan kata lain A dioverwrite dengan A juga dan head bergerak ke kanan.

7.      Head membaca simbol B, maka B tersebut harus dilewati (tidak boleh dioverwrite), dengan kata lain B dioverwrite dengan A juga dan head bergerak ke kanan.

8.      Head membaca simbol s, maka s dioverwrite dengan s dan head bergerak ke kanan menuju stata H.

Skema graf Mesin Turing di atas adalah :

(s, e, R) ]

Contoh :

Lakukan tracing dengan mesin turing di atas untuk kalimat-kalimat : aabb, aab.

Jawab :

i)        (S,aabb) ^ (1,Aabb) ^ (1,Aabb) ^ (2,AaBb) ^ (3,AaBb) ^ (S,AaBb)

^ (1,AABb) ^ (1,AABb) ^ (2,AABB) ^ (2,AABB) ^ (4,AABB) ^ (4,AABB) ^ (4,AABBs) ^ (H,AABBss)

ii)      (S,aab) ^ (1,Aab) ^ (1,Aab) ^ (2,AaB) ^ (3,AaB) ^ (S,AaB) ^ (1,AAB)

^ (1,AAbs) ^ crash, karena dari node 1 tidak ada edge dengan bobot komponen pertamanya hampa (s)

IV. AUTOMATA HINGGA (AH)

•          AH didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (K, V_T, M, S, Z).

K : himpunan hingga stata,

V_T : himpunan hingga simbol input (alfabet)

M : fungsi transisi, menggambarkan transisi stata AH akibat pembacaan simbol input.

Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.

S e K : stata awal Z e K : himpunan stata penerima

•          Ada dua jenis automata hingga : deterministik (AHD, DFA = deterministic finite automata) dan non deterministik (AHN, NFA = non deterministik finite automata).

-       AHD : transisi stata AH akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.

M(AHD) : K x V_T ^ K

-       AHN : transisi stata AH akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu.

M(AHN) : K x V_T ^ 2^K

IV. 1. Automata Hingga Deterministik (AHD)

Berikut ini sebuah

contoh AHD F(K, V_T, M, S, Z), dimana :

Ilustrasi graf untuk AHD F adalah sebagai berikut : Lambang stata awal adalah node dengan anak panah. Lambang stata awal adalah node ganda.

Contoh kalimat yang diterima AHD : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba Contoh kalimat yang tidak diterima AHD : bb, abb, abba

AHD ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung substring bb.

Contoh :

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima AHD : abababaa, aaaabab, aaabbaba Jawab :

i)           M(q0,abababaa) ^ M(q0,bababaa) ^ M(q1,ababaa) ^ M(q0,babaa)

^ M(q1,abaa) ^ M(q0,baa) ^ M(q1,aa) ^ M(q0,a) ^ q0 Tracing berakhir di q0 (stata penerima) ^ kalimat abababaa diterima

ii)         M(q0, aaaabab) a M(q0,aaabab) a M(q0,aabab) a M(q0,abab)

^ M(q0,bab) ^ M(q1,ab) ^ M(q0,b) a q1

Tracing berakhir di q1 (stata penerima) ^ kalimat aaaababa diterima

iii)       M(q0, aaabbaba) ^ M(q0, aabbaba) ^ M(q0, abbaba) ^ M(q0, bbaba)

^ M(q1,bbaba) ^ M(q2,baba) ^ M(q2,aba) ^ M(q2,ba) ^ M(q2,a) a q2 Tracing berakhir di q2 (bukan stata penerima) ^ kalimat aaabbaba ditolak Kesimpulan : sebuah kalimat diterima oleh AHD jika tracingnya berakhir di salah satu stata penerima.

IV.2. Equivalensi 2 AHD

Dua buah AHD dikatakan equivalen jika keduanya dapat menerima bahasa yang

sama. Misalkan kedua AHD tersebut adalah A dan A’. Misalkan pula bahasa yang

diterima adalah bahasa L yang dibangun oleh alfabet V_T = {a1, a2, a3, ..., an}.

Berikut ini algoritma untuk menguji equivalensi dua buah AHD.

1.      Berikan nama kepada semua stata masing-masing AHD dengan nama berbeda. Misalkan nama-nama tersebut adalah : S, A1, A2, ... untuk AHD A, dan : S’, A1’, A2’, ... untuk AHD A’.

2.      Buat tabel (n+1) kolom, yaitu kolom-kolom : (v, v’), (v_{a 13} v_{a 1}’), ..., (v_an, v _{a n} ’), yaitu pasangan terurut (stata AHD A, stata AHD A’).

3.      Isikan (S, S’) pada baris pertama kolom (v, v’), dimana S dan S’ masing-masing adalah stata awal masing-masing AHD.

4.      Jika terdapat edge dari S ke A1 dengan label a1 dan jika terdapat edge dari S’ ke A1’ juga dengan label a1, isikan pasangan terurut (A1, A1’) sebagai pada baris pertama kolom (v_{a 13} v_{a 1}’). Lakukan hal yang sama untuk kolom-kolom berikutnya.

5.      Perhatikan nilai-nilai pasangan terurut pada baris pertama. Jika terdapat nilai pasangan terurut pada kolom (v_{a 13} v_{a 1}’) s/d (v_{a n}, v_{a n}’) yang tidak sama dengan nilai pasangan terurut (v, v’), tempatkan nilai tersebut pada kolom (v, v’) baris-baris berikutnya. Lakukan hal yang sama seperti yang dilakukan pada langkah (4). Lanjutkan dengan langkah (5).

6.      Jika selama proses di atas dihasilkan sebuah nilai pada kolom (v, v’), dengan komponen v merupakan stata penerima sedangkan komponen v’ bukan, atau sebaliknya, maka kedua AHD tersebut tidak ekuivalen. Proses dihentikan.

7.      Jika kondisi (6) tidak dipenuhi dan jika tidak ada lagi pasangan terurut baru yang harus ditempatkan pada kolom (v, v’) maka proses dihentikan dan kedua AHD tersebut ekuivalen.

Contoh :

Periksalah ekuivalensi kedua AHD berikut :

AHD A’

Jawab :

Dengan menggunakan menggunakan algoritma di atas maka dapat dibentuk tabel

Keterangan :

(2, 5) adalah pasangan terurut baru (3, 6) adalah pasangan terurut baru (2, 7) adalah pasangan terurut baru tidak adal lagi pasangan terurut baru

IV. 3. Mesin Stata Hingga (MSH)

•         MSH atau FSM (Finite State Machine) adalah sebuah varians automata hingga. MSH sering juga disebut sebagai automata hingga beroutput atau mesin sekuensial.

•         MSH didefinisikan sebagai pasangan 6 tupel F(K, V_T, S, Z, f, g) dimana :

K : himpunan hingga stata,

V_T : himpunan hingga simbol input (alfabet)

S e K : stata awal Z : himpunan hingga simbol output f : K x V_T ^ K disebut fungsi next state g : K x V_T ^ Z disebut fungsi output

Contoh :

Berikut ini adalah contoh MSH dengan 2 simbol input, 3 stata, dan 3 simbol output : K = {q0, q1, q2}                                                   fungsi f :                                          fungsi g :

S = q0                         f(q0,a) =   q1     f(q0,b) = q2          f(q0,a) = x         f(q0,b) = y

Vt = {a, b}                 f(q1,a) =    q2     f(q1,b) = q1          f(q1,a) = x         f(q1,b) = z

Z = {x, y, z}               f(q2,a)  =   q0     f(q2,b) = q1          f(q2,a) =  z         f(q2,b) = y

	a	b
q0	q1, x	q2, y
q1	q2, x	q1, z
q2	q0, z	q1, y

Jika MSH di atas mendapat untai masukan “aaba” maka akan dihasilkan :

-       untai keluaran : xxyx

-       untai stata : q0 q1 q2 q1 q2

IV. 4. MSH penjumlah biner

MSH dapat disajikan sebagai penjumlah biner. Sifat penjumlahan biner bergantung pada statusnya : carry atau not carry.

Pada status not carry berlaku : 0 + 0 = 0,       1 + 0 = 0 + 1 = 1,       1 + 1 = 0

Pada status carry berlaku           : 0 + 0 = 1,    1 + 0 = 0 + 1 = 0,       1 + 1 = 1

Pada status not carry blank (b) menjadi b, sedangkan pada status carry menjadi 1.

Nilai setiap tupel untuk MSH ini adalah : K = N (not carry), C (carry), dan S (stop) Tabel MSH S = N 00 01 10 11 b V T = {00, 01, 10, 11, b} N N, 0 N, 1 N, 1 C, 0 S, b Z = {0, 1, b} C N, 1 C, 0 C, 0 C, 1 S, 1

Graf MSH penjumlah biner :

Jawab :

Input = pasangan digit kedua bilangan, mulai dari LSB (least significant bit)

=         11, 11, 00, 11, 01, 11, 11, b

Output =          0, 1, 1,      0,    0,  1,     1, 1 (jawab : dibaca dari kanan)

Stata = N,        C, C, N,    C,   C,  C,    C, S

Periksa :           1 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1 +

1 1 1 0 0 1 1 0

IV. 5. Ekspresi Regular

•          Bahasa regular dapat dinyatakan sebagai ekspresi regular dengan menggunakan 3 operator : concate, alternate, dan closure.

•          Dua buah ekspresi regular adalah ekuivalen jika keduanya menyatakan bahasa yang sama

Contoh :

L₁ = {aⁿba^m       | n > 1, m   > 1} o       er ₁       = a + b a +

L₂= {aⁿba^m        | n > 0, m   > 0} o       er ₂       = a* b a*

Perhatikan bahwa kita tidak bisa membuat ekspresi regular dari bahasa

L₃ = {aⁿbaⁿ | n > 1} atau L₄ = {aⁿbaⁿ | n > 0}, karena keduanya tidak dihasilkan

dari grammar regular.

Kesamaan 2 ekspresi regular :

(a b)* a = a (b a)*

Bukti :

(a b)* a = (s| (ab) I (abab)l...) a = (s a I (aba) I (ababa)l...) = (a I (aba) I (ababa) I...)

= a (sI (ba) I (baba) I .) = a (b a)*

Latihan 2. Buktikan kesamaan ekspresi regular berikut :

1.      (a* I b)* = (a I b)*

2.      (a|b*)* = (a Ib)*

3.      (a* b)* a* = a* (b a*)*

4.      (a a*)(sI a) = a*

5.      a(b aIa)* b = a a* b(a a* b)*

IV. 6. Automata Hingga Nondeterministik (AHN)

Berikut ini sebuah contoh AHN F(K, V_T, M, S, Z), dimana :

^K = ^{Qo, Qn q2^,Q3. q4^}

Vt = {a, b,c}

S = q0 Z = {q4}

Contoh kalimat yang diterima AHN di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb Contoh kalimat yang tidak diterima AHN di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc

Fungsi transisi M sebuah AHN dapat diperluas sebagai berikut :

1.      M(q, s) = {q} untuk setiap q e K

2.      M(q, t T) = u M(p_i, T) dimana t e V_T, T adalah V_T *, dan M(q, t) = {p_i}

3.      M({qi, q2, qn}, x) = u M(qi,x), untuk x e Vt*

Sebuah kalimat di terima AHN jika :

•         salah satu tracing-nya berakhir di stata penerima, atau

•         himpunan stata setelah membaca string tersebut mengandung stata penerima

Contoh :

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima AHN : ab, abc, aabc, aabb Jawab :

i)          ^M(q0 ,^ab) ^ M(qo^,b) ^u M(qj ,^b) ^ {qo, q₂} ^u {qj = {qo, qi, q₂}

Himpunan stata tidak mengandung stata penerima ^ kalimat ab tidak diterima

ii)        M(qo ,abc) ^ M(qo ,bc) u M(qj ,bc) ^ {M(qo ,c) u M(q2 ,c)} u M(qj, c)

^ ^{{ qo. q3^}u{ q2^}}u{ qi^} = ^^, q^ q2^3^}

Himpunan stata tidak mengandung stata penerima ^ kalimat abc tidak diterima

iii)       M(q₀ ,aabc) ^ M(q₀ ,abc) u M(q₁ ,abc) ^ {M(q₀ ,bc) u M(q₁ ,bc)} u M(q₁ ,bc)

^ ^{{M(q o ^{, c) u M(}q2^,c)} u M(q^ ^c)} u M(q^ ^c)

^ ^{{{ qo> q3^}u { q2^}} u {qi^}} u {qi^} = ^^, q^ q2^3^}

Himpunan stata tidak mengandung stata penerima ^ kalimat aabc tidak diterima

iv)       M(q₀ ,aabb) ^ M(q₀ ,abb) u M(q_i ,abb) ^ {M(q₀ ,bb) u M(q_i ,bb)} u M(q_i ,bb)

^ ^{{M(q o ^{, b) u M(}q2^,b)} u M(q^ ^b)} u M(q^ ^b)

^ ^{{{ qo, q2^}u { q2₅ q4^}} u {qi^}} u {qi^} = ^^, q^ q2₅ q4^}

Himpunan stata tidak mengandung stata penerima ^ kalimat aabb diterima

AHN Dengan Transisi Hampa Perhatikan AHN berikut. i

8

AHN di atas mengandung ruas dengan bobot 8. AHN demikian dinamakan AHN dengan transisi 8, atau singkatnya AHN-8. AHN-8 di atas menerima bahasa L = {i

Pembentukan AHD dari AHN

Diberikan sebuah AHN F = (K, V_T, M, S, Z). Akan dibentuk sebuah AHD F’ = (K’, V_T M’, S’, Z’) dari AHN F tersebut. Algoritma pembentukannya adalah sbb. :

1.      Tetapkan : S’ = S dan V_T’ = V_T

2.      Copykan tabel AHN F sebagai tabel AHD F’. Mula-mula K’ = K dan M’ = M

3.      Setiap stata q yang merupakan nilai (atau peta) dari fungsi M dan q £ K, ditetapkan sebagai elemen baru dari K’. Tempatkan q tersebut pada kolom Stata M’, lakukan pemetaan berdasarkan fungsi M.

4.      Ulangi langkah (3) sampai tidak diperoleh stata baru.

5.      Elemen Z’ adalah semua stata yang mengandung stata elemen Z.

Contoh :

Berikut ini diberikan sebuah AHN F = (K, V_T, M, S, Z) dengan :

K = {A, B, C}, V_T = {a, b}, S = A, Z = {C}, dan M didefinisikan sebagai berikut :

Stata K AHN F	Input
	a	b
A	[A,B]	C
B	A	B
C	B	___ [AB____

Tentukan AHD hasil transformasinya.

Jawab :

Berdasarkan algoritma di atas, maka :

1.      S’ = S = A, V_T ’ = V_T = {a, b}.

2.      Hasil copy tabel AHN F menghasilkan tabel AHD F’ berikut :

Pada tabel AHD F’ di atas terdapat stata baru yaitu [A,B]. Pemetaan [A,B] adalah : M([A,B],a) = M(A,a) u M(B,a) = [A,B] u A = [A,B], dan

M([A,B],b) = M(	A,b) u M(B,b) = C u B = [
Stata K’	Input
dari AHD F’	a	b
A	[A,B]	C
B	A	B
C	B	[A,B]
____ [AB_____	[AB]	___ [BC]____

[B,C] diperoleh tabel berikut :

Langkah (3) di atas menghasilkan stata baru yaitu [B,C]. Setelah pemetaan terhadap

Stata K’ dari AHD F’	Input
	a	b
A	[A,B]	C
B	A	B
C	B	[A,B]
[A,B]	[A,B]	[B,C]
[B,C]	[A,B]	[A,B]

Setelah langkah (4) di atas tidak terdapat lagi stata baru.

5.

Dengan demikian AHD F’ yang dihasilkan adalah : AHD F’ = (K’, V_T ’, M’, S’, Z’), dimana : K’ = {A, B, C, [A,B], [B,C]}, V_T ’ = {a, b}, S’ = A, Z’ = {C, [B,C]}. Fungsi transisi M’ serta graf dari AHD F’ adalah sebagai berikut :

Pembentukan GR dari AHD

Diketahui sebuah AHD F = (K, V_T, M, S, Z). Akan dibentuk GR G = (V_T ’,V_N, S’, Q). Algoritma pembentukan GR dari AHD adalah sebagai berikut :

1.      Tetapkan V_T’ = V_T, S’ = S, V_N = S

2.      Jika A _p, A _q e K dan a e V _T, maka :

\A_p ^ aA_q, jika A_q £ Z M(A _p, a) = A _q ekuivalen dengan produksi : <

^K p ' ^q                                                           [Ap ^ a, jika Aq eZ

Dengan algoritma di atas maka diperoleh Q(GR) sbb. :

M(S,1) = Ao S ^ 1A M(A,1) = So A ^ 1 M(B,1) = Co B^ 1C M(C,1) = Bo C ^ 1B

GR yang dihasilkan adalah G(V_T ’,V_N, S’, Q), dengan V_T ’ = {0,1}, V_N = {S, A, B, C}, S’ = S, dan Q = {S ^ 0B, S ^ 1A, A ^ 0C, B^ 1C, C ^ 0A, C ^ 1B, A ^ 1, B ^ 0}

Pembentukan AHN dari GR

Diketahui GR G = (V_T ,V_N, S, Q). Akan dibentuk AHN F = (K,V_T ’, M, S’, Z). Algoritma pembentukan AHN dari GR :

1.      Tetapkan V_T ’ = V_T, S’ = S, K = V_N

2.      Produksi A _p ^ a A _q ekuivalen dengan M(A _p , a) = A _q Produksi A_p ^ a ekuivalen dengan M(A_p, a) = X, dimana X £ V_N

3.      K = K u {X}

4.      Z = {X}

Contoh

Diketahui GR G = (V_T ,V_N, S, Q) dengan : V_T = {a, b}, V_N= {S, A, B}, S = S, dan Q = {S ^ aS, S ^ bA, A ^ aA, A ^ aB, B ^ b}

Terapkan algoritma di atas untuk memperoleh AHN F sebagai berikut :

1.     Vt’ = Vt = {a, b}, S’ = S, K = Vn = {S, A, B}

2.      S ^ aS o M(S,a) = S, S ^ bA o M(S,b) = A,

A ^ aA o M(A,a) = A, A ^ aB o M(A,a) = B,

B ^ b o M(B,b) = X

AHN yang diperoleh : F(K,V_T ’, M, S’, Z), dengan K = {S, A, B, X}, Vt’ = {a, b}, S’ = S, Z = {X},

	IV.8. Ekuivalensi Ahn-e Dengan ER (Ekspresi Regular)

Contoh :

Tentukan AHN untuk ekspresi regular r = 0(1 | 23)* Jawab :

0

r1 = 0 O r 2 = 1 O r3 = 23 O

3

q

1| 23 O

r 4 = r 2 1 r 3

S

r5= r4* = (1| 23)* O

S

r = r5= 0(1| 23)* O

V.      GRAMMAR CONTEXT-FREE DAN PARSING

Bentuk umum produksi CFG adalah : a ^ P, a e V_N, P e (V_N | V_T)*

Analisis sintaks adalah penelusuran sebuah kalimat (atau sentensial) sampai pada simbol awal grammar. Analisis sintaks dapat dilakukan melalui derivasi atau parsing. Penelusuran melalui parsing menghasilkanpohon sintaks.

Contoh 1 :

Diketahui grammar G₁ = {I ^ H 11 H | IA, H ^ a | b | c |... | z, A ^ 0 | 1 | 2 | ... | 9} dengan I adalah simbol awal. Berikut ini kedua cara analisa sintaks untuk kalimat x23b.

cara 2 (parsing)

Sebuah kalimat yang mempunyai lebih dari satu pohon sintaks disebut kalimat ambigu (ambiguous). Grammar yang menghasilkan paling sedikit sebuah kalimat ambigu disebut grammar ambigu.

5.1.    Metoda Parsing

Ada 2 metoda parsing : top-down dan bottom-up.

Parsing top-down : Diberikan kalimat x sebagai input. Parsing dimulai dari simbol awal S sampai kalimat x nyata (atau tidak nyata jika kalimat x memang tidak bisa diturunkan dari S) dari pembacaan semua leaf dari pohon parsing jika dibaca dari kiri ke kanan.

Parsing bottom-up : Diberikan kalimat x sebagai input. Parsing dimulai dari kalimat x yang nyata dari pembacaan semua leaf pohon parsing dari kiri ke kanan sampai tiba di simbol awal S (atau tidak sampai di S jika kalimat x memang tidak bisa diturunkan dari S)

Parsing Top-down

Ada 2 kelas metoda parsing top-down, yaitu kelas metoda dengan backup dan kelas metoda tanpa backup. Contoh metoda kelas dengan backup adalah metoda Brute-Force, sedangkan contoh metoda kelas tanpa backup adalah metoda recursive descent.

Metoda Brute-Force

Kelas metoda dengan backup, termasuk metoda Brute-Force, adalah kelas metoda parsing yang menggunakan produksi alternatif, jika ada, ketika hasil penggunaan sebuah produksi tidak sesuai dengan simbol input. Penggunaan produksi sesuai dengan nomor urut produksi.

Contoh 3 :

Diberikan grammar G = {S ^ aAd | aB, A ^ b | c, B ^ ccd | ddc}. Gunakan metoda Brute-Force untuk melakukan analisis sintaks terhadap kalimat x = accd._____________________________________

S

Metoda Brute-Force tidak dapat menggunakan grammar rekursi kiri, yaitu grammar yang mengandung produksi rekursi kiri (left recursion) : A ^ Ax. Produksi rekursi kiri akan menyebabkan parsing mengalami looping tak hingga.

Contoh 4 :

•           Kelas metoda tanpa backup, termasuk metoda recursive descent, adalah kelas metoda parsing yang tidak menggunakan produksi alternatif ketika hasil akibat penggunaan sebuah produksi tidak sesuai dengan simbol input. Jika produksi A mempunyai dua buah ruas kanan atau lebih maka produksi yang dipilih untuk digunakan adalah produksi dengan simbol pertama ruas kanannya sama dengan input yang sedang dibaca. Jika tidak ada produksi yang demikian maka dikatakan bahwa parsing tidak dapat dilakukan.

•           Ketentuan produksi yang digunakan metoda recursive descent adalah : Jika terdapat dua atau lebih produksi dengan ruas kiri yang sama maka karakter pertama dari semua ruas kanan produksi tersebut tidak boleh sama. Ketentuan ini tidak melarang adanya produksi yang bersifat rekursi kiri.

Contoh 5 : Diketahui grammar G = {S ^ aB | A, A ^ a, B ^ b | d}. Gunakan metoda recursive descent untuk melakukan ana isis sintaks terhadap kalimat x = ac. S S Hasil : Input :            Sisa : ab Penjelasan : Masukkan simbol terkiri kalimat sebagai     input. Gunakan produksi S dengan simbol pertama ruas kanan = a a                                  B Hasil : a Input : a          Sisa : c Penjelasan : Hasil = Input. Gunakan produksi B dengan simbol pertama ruas kanan = c. Karena produksi demikian maka parsing gagal dilakukan. SELESAI, PARSING GAGAL

Parsing Bottom-Up

Salah satu contoh menarik dari parsing bottom-up adalah parsing pada grammar preseden sederhana (GPS). Sebelum sampai ke parsing tersebut, akan dikemukakan beberapa pengertian dasar serta relasi yang ada pada GPS.

Pengertian Dasar

•           Jika a dan x keduanya diderivasi dari simbol awal grammar tertentu, maka a disebut sentensialjika a e (V_T | V_N)*, dan x disebut kalimatjika x e (V_T)*

•           Misalkan a = Q ₁ p Q ₂ adalah sentensial dan A e V_N :

-      p adalah frase dari sentensial a jika : S ^ ... ^ QiA Q₂ dan A^ ... ^ p

-      p adalah simple frase dari sentensial a jika : S ^ ... ^ Q₁A Q₂ dan A^ p

-      Simple frase terkiri dinamakan handel

-      frase, simple frase, dan handel adalah string dengan panjang 0 atau lebih..

Contoh 6 :

(1) I ^ I H Hb adalah sentensial dan b adalah simple frase

^ H H (dibandingkan dengan Q₁ p Q ₂ maka Q₁ = H, p = b, dan Q ₂ = s)

^ H b Perhatikan : simple frase (b) adalah yang terakhir diturunkan

(2) I ^ I H         Hb adalah sentensial dan H adalah simple frase

^ I b         (dibandingkan dengan Q _l p Q ₂ maka Q _l = s, p = H, dan Q ₂ = b)

^ H b Perhatikan : simple frase (H) adalah yang terakhir diturunkan Sentensial Hb mempunyai dua simple frase (b dan H), sedangkan handelnya adalah H.

Relasi Preseden dan Grammar Preseden Sederhana

•         Relasi preseden adalah relasi antara 2 simbol grammar (baik V_T maupun V_N) dimana paling tidak salah satu simbol tersebut adalah komponen handel.

•           Misalkan S dan R adalah 2 simbol. Ada 3 relasi preseden yang : o, dan —

U

I    handel ~"^I                      I handel                                   I handel I

Relasi : R — S                        Relasi : R o S                           Relasi : R ^ S

Perhatikan : komponen handel selalu ‘menunjuk’ yang simbol lainnya.

Contoh 7 :

Diketahui grammar dengan G = {Z — bMb, M — (L I a, L — Ma)}. Dari 3 sentensial : bab, b(Lb, b(Ma)b, tentukan handel dan relasi yang ada.

bab Z bMb

(                   L

Handel : (L Relasi : b ^ (, (o L, L — b

Secara umum : jika A — aBc adalah sebuah produksi maka :

-      aBc adalah handel dari sentensial yang mengandung string “aBc”

-      relasi preseden antara a, B, dan c adalah : a o B, B o c

Dengan memperhatikan ruas kanan produksi yang ada serta berbagai sentensial yang

	Z	b	M	L	a	(	)
Z
b
M
L		—			—
a		—			—
(
)		—

Grammar G disebut grammar preseden sederhana jika :

1.    paling banyak terdapat satu relasi antara setiap dua simbolnya

2.    tidak terdapat dua produksi produksi dengan ruas kanan yang sama

Parsing Grammar Preseden Sederhana

Prosedur parsing :

1.    Buat tabel 3 kolom dengan label : sentensial dan relasi, handel, dan ruas kiri produksi.

2.    Tuliskan kalimat (atau sentensial) yang diselidiki pada baris pertama kolom pertama.

3.    Dengan menggunakan tabel relasi preseden cantumkan relasi preseden antara setiap dua simbol yang bertetangga.

4.    Tentukan handel dari sentensial tersebut. Handel adalah string yang dibatasi “—“ terakhir dan “— “ pertama jika dilakukan penelusuran dari kiri atau yang saling mempunyai relasi “o“. Handel tersebut pastilah merupakan ruas kanan produksi, karena itu tentukan ruas kiri dari handel tersebut.

5.    Ganti handel dengan ruas kiri produksinya. GOTO 3.

6.    Kalimat yang diselidiki adalah benar dapat diderivasi dari simbol awal jika kolom

“ruas kiri produksi” menghasilkan simbol awal. Contoh 8 : Lakukan parsing atas kalimat x = b(aa)b berdasarkan grammar G di atas. sentensial dan relasi handel ruas kiri produksi b —— (—— a —— a ^o)—— b a M b — (— M o a o)— b Ma) L b —— (^o L—— b (L M b o M o b bMb Z Prosedur parsing sampai di simbol awal (Z). Maka kalimat “b(aa)b” memang dapat diderivasi dari simbol awal Z dengan menggunakan grammar G.

5.2. Bentuk Normal Chomsky

•         Bentuk normal Chomsky (Chomsky Normal Form, CNF) adalah grammar bebas konteks (CFG) dengan setiap produksinya berbentuk : A ^ BC atau A ^ a.

•         Transformasi CFG ke CNF adalah trnasformasi berikut :

•         4 langkah konversi CFG - CNF adalah sebagai berikut :

1.      Eliminir semua produksi hampa

2.      Eliminir semua produksi unitas

3.      Terapkan prinsip batasan bentuk ruas kanan produksi

4.      Terapkan prinsip batasan panjang ruas kanan produksi

•         Penjelasan Tentang 4 Langkah Konversi

1.      Eliminasi produksi hampa

Produksi hampa dikaitkan dengan pengertian nullable Suatu simbol A e V_N dikatakan nullable jika :

(a)   terkait dengan produksi berbentuk : A ^ s, atau

(b)   terkait dengan derivasi berbentuk : A            s

Eliminasi yang dilakukan terhadap simbol nullable adalah :

(a)   Buang produksi hampa

(b)   Tambahkan produksi lain yang merupakan produksi lama tetapi simbol nullable- nya yang di ruas kanan produksi dicoret.

Contoh 9 :

Lakukan eliminasi produksi hampa terhadap himpunan produksi berikut :

Q = { S ^ a | Xb | aYa, X ^ Y |s, Y ^ b | X}

Solusi :

•         Simbol nullable adalah X (karena X ^ s) dan Y (karena Y ^ X ^ s)

•         Dua langkah eliminasi simbol nullable adalah :

-    langkah (a) menghilangkan produksi X ^ s

-    langkah (b) menambahkan produksi S ^ b (pencoretan simbol nullable X pada produksi S ^ Xb) dan produksi S ^ aa (pencoretan simbol nullable Y pada produksi S ^ aYa)

•         Himpunan produksi setelah dilakukan eliminasi produksi hampa adalah :

Q = {S ^ a | Xb | aYa | b | aa, X ^ Y, Y ^ b | X}

2.      Eliminasi produksi unitas

Produksi unitas berbentuk A ^ B, dimana A,B e V_N

•         Jika ada produksi berbentuk : A ^ B , atau derivasi A ^ Xi ^ X2 ^ ... ^ B , dan jika ada produksi non-unitas dari B berbentuk : B ^ |a2 |... |a_n, maka eliminasi yang dilakukan akan menghapus produksi A ^ B dan menghasilkan produksi : A ^ ai |a2 |... |a_n.

• Tidak dilakukan eliminasi terhadap derivasi tertutup karena tidak akan menghasil- kan produksi baru. Bentuk derivasi tertutup adalah : A ^ Xj ^ X2 ^ ... ^ A Contoh 10 :

Lakukan eliminasi produksi unitas terhadap himpunan produksi berikut :

Q = {S ^ A | bb, A ^ B | b, B ^ S | a}

Solusi :

Untuk memudahkan, pisahkan produksi unitas dan non-unitas :

Produksi unitas : S ^ A, A ^ B, B ^ S Produksi non unitas : S ^ bb, A ^ b, B ^ a Proses eliminasi yang dilakukan adalah :

S ^ A dan A ^ b menghapus S ^ A dan menghasilkan S ^ b S ^ A ^ B dan B ^ a menghasilkan S ^ a A ^ B dan B ^ a menghapus A ^ B dan menghasilkan A ^ a A ^ B ^ S dan S ^ bb menghasilkan A ^ bb B ^ S dan S ^ bb menghapus B ^ S dan menghasilkan B ^ bb B ^ S ^ A dan A ^ b menghasilkan B ^ b Perhatikan bahwa derivasi S ^ A ^ B ^ S (derivasi tertutup) dan produksi S ^ bb akan menghasilkan produksi S ^ bb yang jelas bukan merupakan produksi baru. Karena itu terhadap derivasi ini tidak dilakukan eliminasi.

3.      Penerapan batasan bentuk ruas kanan produksi

Penerapan batasan bentuk ruas kanan produksi adalah mengubah semua bentuk produksi ke dalam 2 bentuk berikut : A ^ a dan A ^ B₁ B2 ... B_n, n > 2.

Contoh 11:

Terapkan batasan bentuk ruas kanan produksi terhadap himpunan produksi berikut :

Q = {S ^ Aa, A ^ bAa}

Solusi :

-       produksi S ^ Aa diubah menjadi : S ^ AX _a , X _a ^ a

-       produksi A ^ bAa diubah menjdi : A ^ X^ A X_a , X_a ^ a, X^ ^ b sehingga himpunan produksi menjadi :

^Q = ^{S ^ AX a, ^A ^ ^X b ^{A X} a ^{, X} a ^ ^a’ ^X b ^ ^b}

4.      Penerapan batasan panjang ruas kanan produksi

Penerapan batasan panjang ruas kanan produksi adalah mengubah semua bentuk produksi sehingga panjang untai ruas kanannya < 2.

Contoh 12 :

Terapkan batasan panjang ruas kanan produksi terhadap himpunan produksi berikut : Q = {S ^ ABCD | ABC, B ^ X_bB X_a }

Solusi :

-       produksi S ^ ABCD diubah menjadi : S ^ AT1 , T1 ^ BT2 , T2 ^ CD

-       produksi S ^ ABC diubah menjadi : S ^ AT₃ , T₃ ^ BC

-       produksi B ^ Xb B X _a diubah menjadi : B ^ Xb T₄ , T₄ ^ B X _a
sehingga himpunan produksi menjadi :

Q = {S — ATj , Tj — BT₂ , T₂ — CD, S — AT₃

T₄ — B X _a }

• Contoh 13 : Penyelesaian Konversi CFG ke CNF

Diberikan Q = {S —■ AACD , A —■ aAb |s , C —■ aC | a , D —■ aDa | bDb |s } Transformasikan himpunan produksi tersebut ke dalam bentuk CNF-nya.

1.       Eliminasi Produksi Hampa

Dari bentuk Q di atas, maka simbol nullable adalah A dan D. Dua langkah eliminasi yang dilakukan adalah :

-      penghilangan produksi hampa A —■ s dan D —■ s

-      pembentukan produksi hampa dari produksi yang mengandung simbol nullable :

•       dari S — AACD dibentuk : S — ACD | AAC | AC | CD | C

•       dari A —■ aAb dibentuk : A —■ ab

•       dari D —■ aDa | bDb dibentuk : D —■ aa | bb Dengan demikian Q berubah menjadi :

Q = {S — AACD | ACD | AAC | AC | CD | C ,

A —■ aAb | ab , C —■ ac | a , D —■ aDa | bDb | aa | bb }

2.       Eliminasi Produksi Unitas

Q hasil langkah pertama di atas mengandung satu produksi unitas : S —■ C. Proses eliminasi yang dilakukan adalah :

S —■ C dan C —■ ac | a menghapus S —■ C dan menghasilkan S —■ ac | a Dengan demikian Q berubah menjadi :

Q = {S — AACD | ACD | AAC | AC | CD | ac | a ,

A —■ aAb | ab , C —■ ac | a , D —■ aDa | bDb | aa | bb }

3.       Penerapan Batasan Bentuk Ruas Kanan

Setelah langkah 2, ternyata Q masih mengandung produksi-prosuksi yang tidak ber-bentuk A —■ a dan A —■ B₁ B2 ... B_n(n > 2). Produksi-produksi tersebut

adalah :

S —■ aC, A —■ aAb | ab, C —■ aC, D —■ aDa | bDb | aa | bb. Bentuk-bentuk produksi ini diubah sebagai berikut :

S —■ aC menjadi S —■ X _a C dan X_a —■ a

A —■ aAb | ab menjadi A —■ X_a A X b | X _a X b dan X_a —■ a, Xb —■ b C —■ aC menjadi C —■ X_a C dan X _a —■ a

D — aDa | bDb | aa | bb menjadi D — X _a D X _a | X_b D X_b | X _a X _a | X_b X_b dan X a —— a, X b —— b

Bentuk Grammar sampai langkah 3 ini adalah :

Q = { S — AACD | ACD | AAC | AC | CD | X _a C|a , A — X _a A X _b | X _a X _b ,

C — X a C | a , D — X a D X a | X _b D X _b | X a X a | X _b X _b ,

X _a ^— a , X b ^— b}

4.      Penerapan Batasan Panjang Ruas Kanan

Bentuk Q terakhir masih mengandung produksi-produksi dengan panjang untai ruas kanan > 2. Produksi-produksi tersebut adalah : S — AACD | ACD | AAC ,

A — X_aAXb, D — X_aDX_a |XbDXb. Bentuk-bentuk produksi ini diubah

sebagai berikut :

S —— AACD menjadi : S —— A T1 , T1 —— A T2 , T2 —— CD S —— ACD menjadi : S —— A T2 , T 2 —— CD S —— AAC menjadi : S —— A T 3 , T 3 —— AC A —— X a AX b menj adi : A —— X a T 4, T 4 —— AX b D — X a DX a menjadi : D — X a T 5 , T 5 — DX a D — X b DX b menjadi : D — X b T g, T g — DX b

Bentuk grammar sampai langkah 4 ini adalah bentuk CNF, yaitu :

Q = {S — A T₁ | A T₂ | A T ₃ | AC|CD|X_a C | a,

T₁ — A T₂, T₂ — CD , T ₃ — AC ,

^{A — X} a ^T 4 ^{| X} a ^X b ’ ^T 4 ^{— A X} b ’

C — X _a C| a,

^D — ^X a ^T 5 ^{| X} b ^T g ^{| X} a ^X a I ^X b ^X b • ^T 5 — ^DX a. ^T 6 — ^DX b •

^X a ^{— a}’ ^X b ^{— b }}

5.3.      Automata Pushdown (APD)

• Definisi : PDA adalah pasangan 7 tuple M = (Q, Z, r, q₀, Z₀,5, A), dimana :

Q : himpunan hingga stata, Z : alfabet input, r : alfabet stack, q₀ e Q : stata awal,

Z ₀ e r : simbol awal stack, A e Q : himpunan stata penerima,

Q xT*

fungsi transisi 5 : Q x (Z u {s}) x r ^ 2 (himpunan bagian dari Q x r*)

•         Untuk stata q e Q, simbol input a e Z, dan simbol stack Xe r, 5(q, a, X) = (p, a) berarti : PDA bertransisi ke stata p dan mengganti X pada stack dengan string a.

•         Konfigurasi PDA pada suatu saat dinyatakan sebagai triple (q, x, a), dimana :

q e Q : stata pada saat tersebut, x e Z* : bagian string input yang belum dibaca, dan a e r* : string yang menyatakan isi stack dengan karakter terkiri menyatakan top of stack.

•         Misalkan (p, ay, XP) adalah sebuah konfigurasi, dimana : a e Z, y e Z*, X e r, dan P e r*. Misalkan pula 5(p, a, X) = (q, y) untuk q e Q dan y e r*. Dapat kita tuliskan bahwa : (p, ay, XP) ^ (q, y, yP).

Contoh 14 (PDA Deterministik):

PDA M = (Q, Z, r, q₀, Z₀, 5, A) pengenal palindrome L = {xcx^T |x e (a|b)*}, dimana x^T adalah cermin(x), mempunyai tuple : Q = {q₀, q₁, q₂}, A = { q₂},

Z = {a, b, c}, r = {a, b, Z 0}, dan fungsi transisi 5 terdefinisi melalui tabel berikut : Sebagai contoh, perhatikan bahwa fungsi transisi No. 1 dapat dinyatakan sebagai : 5(q0, a, Z0) = (q0, aZ0). Pada tabel transisi tersebut terlihat bahwa pada stata q0 PDA akan melakukan PUSH jika mendapat input a atau b dan melakukan transisi stata ke stata q1 jika mendapat input c. Pada stata q1 PDA akan melakukan POP. Berikut ini pengenalan dua string oleh PDA di atas :

1. abcba : (q 0, abcba, Z 0) ^ (q 0, bcba, aZ 0)	(1)
^ (q0, cba, baZ0)	(4)
^ (q1, ba, baZ0)	(9)
^ (q1, a, aZ0)	(11)
^ (q 1, s, Z 0 )	(10)
^ (q2, s, Z0)	(12)     (diterima)
2. acb : (q0, acb, Z0) ^ (q0, cb, aZ0)	(1)
^ (q1, b, aZ0)	(8),      (crash ^ ditolak)

3. ab : (q0, ab, Z0) ^ ^ b aZ0)                                         (1) ^ (q 0, s, baZ 0 )          (4)       (crash ^ ditolak)

Penerimaan dan penolakan tiga string di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

1.      string abcba diterima karena tracing sampai di stata penerima (q ₂ ) dan string

“abcba” selesai dibaca (string yang belum dibaca = s)

2.      string acb ditolak karena konfigurasi akhir (q₁, b, a Z₀) sedangkan fungsi transisi

5(q ₁, b, a) tidak terdefinsi

3.     

string ab ditolak karena konfigurasi akhir (q₀, s, baZ ₀ ) sedangkan fungsi transisi 5(q₀, s, b) tidak terdefinsi

•         Notasi (p, ay, XP) ^ (q, y, yP) dapat diperluas menjadi : (p, x, a) ^* (q, y, P), yang berarti konfigurasi (q, y, P) dicapai melalui sejumlah (0 atau lebih) transisi.

•         Ada dua cara penerimaan sebuah kalimat oleh PDA, yang masing-masing terlihat dari konfigurasi akhir, sebagaimana penjelasan berikut :

Jika M = (Q, Z, r, q₀, Z ₀,5, A) adalah PDA dan x eZ*, maka x diterima dengan stata akhir (accepted by final state) oleh PDA M jika : (q₀, x, Z₀) ^* (q, s, a) untuk a e r * dan q e A. x diterima dengan stack hampa (accepted by empty stack) oleh PDA M jika : (q₀, x, Z ₀ ) ^* (q, s, s) untuk q e Q.

Contoh 15 (PDA Non-Deterministik):

PDA M = (Q, Z, r, q₀, Z₀, 5, A) pengenal palindrome L = {xx^T |x e (a|b)*} mempunyai komponen tuple berikut : Q = {q₀, q₁, q₂}, A = { q₂ }, Z = {a, b}, r = {a, b, Z₀}, dan fungsi transisi 5 terdefinisi melalui tabel berikut :

Pada tabel transisi tersebut terlihat bahwa pada stata q0 PDA akan melakukan PUSH jika mendapat input a atau b dan melakukan transisi stata ke stata q1 jika mendapat input s. Pada stata q1 PDA akan melakukan POP. Contoh 14 dan 15 menunjukkan bahwa PDA dapat dinyatakan sebagai mesin PUSH-POP. Berikut ini pengenalan string “baab” oleh PDA di atas : 1. (q0, baab, Z0) ^ (q0, aab, bZ0) (2 kiri) ^ (q0, ab, abZ0) (5 kiri) ^ (q1, ab, abZ0) (3 kanan) ^ Cq^ b, bZ0) (11) ^ (q 1, s, Z 0 ) (10) ^ (q2, s, Z0) (12)     (diterima) 2. (q0, baab, Z0) ^ (q 1, baab, Z0) (2 kanan) (crash ^ ditolak) 3. (q0, baab, Z0) ^ (q0, aab, bZ0) (2 kiri) ^ (q0, ab, abZ0) (5 kiri) ^ (q 0, b, aabZ 0) (3 kiri) ^ (q 1, b, aabZ 0) (4 kanan) (crash ^ ditolak) 4. (q0, baab, Z0) ^ (q0, aab, bZ0) (2 kiri) ^ (q0, ab, abZ0) (5 kiri) ^ (q 0, b, aabZ 0) (3 kiri) ^ (q 0, s, baabZ 0) (4 kiri) ^ (q 1, s, baabZ 0) (9) (crash ^ ditolak)

VI.      PENGANTAR KOMPILASI 6.1. Translator

Translator (penerjemah) adalah sebuah program yang menerjemahkan sebuah program sumber (source program) menjadi program sasaran (targetprogram).

Jenis Translator	Bahasa Pemrograman
	Input	Output
Assembler	Bahasa Rakitan	Bahasa mesin
Compiler (Kompilator)	Bahasa tingkat tinggi	Bahasa tingkat rendah

Jenis-jenis translator berdasarkan bahasa pemrograman yang bersesuaian dengan input dan outputnya adalah :

6.2. Kompilator dan komponennya

Black box sebuah kompilator dapat digambarkan melalui diagram berikut :

pesan-pesan kesalahan
(error messages)

Proses kompilasi dikelompokkan ke dalam dua kelompok besar :

1.     analisa : program sumber dipecah-pecah dan dibentuk menjadi bentuk antara (inter­

mediate representation)

2.     sintesa : membangun program sasaran yang diinginkan dari bentuk antara

Program sumber merupakan rangkaian karakter. Berikut ini hal-hal yang dilakukan oleh setiap fase pada proses kompilasi terhadap program sumber tersebut :

1.     Penganalisa leksikal :

membaca program sumber, karakter demi karakter. Sederetan (satu atau lebih) karakter dikelompokkan menjadi satu kesatuan mengacu kepada pola kesatuan kelompok karakter (token) yang ditentukan dalam bahasa sumber. Kelompok karakter yang membentuk sebuah token dinamakan lexeme untuk token tersebut. Setiap token yang dihasilkan disimpan di dalam tabel simbol. Sederetan karakter yang tidak mengikuti pola token akan dilaporkan sebagai token tak dikenal (unidentified token). Contoh : Misalnya pola token untuk identifier I adalah : I = huruf(huruf \ angka)*.

Lexeme ab2c dikenali sebagai token sementara lexeme 2abc atau abC tidak dikenal.

2.     Penganalisa sintaks :

memeriksa kesesuaian pola deretan token dengan aturan sintaks yang ditentukan dalam bahasa sumber. Deretan token yang tidak sesuai aturan sintaks akan dilaporkan sebagai kesalahan sintaks (sintax error). Secara logika deretan token yang berse- suaian dengan sintaks tertentu akan dinyatakan sebagai pohon parsing (parse tree). Contoh : Misalnya sintaks untuk ekspresi if-then E adalah : E ^ if L then, L ^ IOA, I = huruf(huruf \ angka)*, O ^ < \ = \ > \ <= \ >=, A ^ 0 \ 1 \... \ 9. Ekspresi if a2 < 9 then adalah ekspresi sesuai sintaks; se^nentara ekspresi if a2 < 9 do atau if then a2B < 9 tidak sesuai. Perhatikan bahwa contoh ekspresi terakhir juga mengandung token yang tidak dikenal.

3.     Penganalisa semantik :

memeriksa token dan ekspresi dengan acuan batasan-batasan yang ditetapkan. Batasan-batasan tersebut misalnya :

a.    panjang maksimum token identifier adalah 8 karakter,

b.    panjang maksimum ekspresi tunggal adalah 80 karakter,

c.     nilai bilangan bulat adalah -32768 s/d 32767,

d.    operasi aritmatika harus melibatkan operan-operan yang bertipe sama.

4.     Pembangkit kode (atau pembangkit kode antara):

membangkitkan kode antara (intermediate code) berdasarkan pohon parsing. Pohon parse selanjutnya diterjemahkan oleh suatu penerjemah, misalnya oleh penerjemah berdasarkan sintak (syntax-directed translator). Hasil penerjemahan ini biasanya merupakan perintah tiga alamat (three-address code) yang merupakan representasi program untuk suatu mesin abstrak. Perintah tiga alamat bisa berbentuk quadruples (op, argl, arg2, result), tripels (op, argl, arg2). Ekspresi dengan satu argumen dinyatakan dengan menetapkan arg2 dengan - (strip, dash).

5.     Pengoptimal kode :

melakukan optimasi (penghematan space dan waktu komputasi), jika mungkin, terhadap kode antara.